Nombres et chiffres

Dans la section précédente, nous avons vu que toutes les informations gérées par un système numérique étaient représentées par des suites de nombres avec une précision finie. Nous avons proposé un exemple dans lequel nous effectuons des relevés de température à intervalles réguliers et nous notons les valeurs arrondies au degré près.

Dans la vie courante, pour noter ces valeurs, nous utilisons généralement le système de numération décimal (également appelé base 10), dans lequel les nombres s’écrivent à l’aide de dix chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9). Ici, nous prendrons bien soin de distinguer les notions de chiffre et de nombre : les chiffres sont des symboles qui servent à écrire les nombres. Dans notre exemple, la représentation des informations est donc à deux niveaux :

1. Une température est représentée par un nombre.
2. Un nombre est représenté par des chiffres.

Le fait d’utiliser dix chiffres est purement arbitraire. Historiquement, ce choix découle certainement du fait que nous utilisons les doigts de nos deux mains pour compter, ce qui donne un statut particulier à la notion de dizaine. En réalité, d’autres systèmes de numération sont possibles.

Compter en décimal

Un chiffre seul représente un nombre entier compris entre zéro et neuf. Un nombre supérieur ou égal à dix s’écrira comme une séquence de chiffres, chacun associé à un poids différent en fonction de sa position : unités, dizaines, centaines, milliers, etc. Par exemple, en notation décimale, le nombre 7405 se décompose de la manière suivante :

La première ligne du tableau indique le poids associé à chaque chiffre. Le chiffre le plus à droite a toujours un poids égal à 1. En continuant de droite à gauche, le poids d’un chiffre est égal à dix fois le poids du chiffre précédent.

La valeur de ce nombre s’obtient en multipliant la valeur de chaque chiffre par le poids qui lui est associé, et en additionnant les produits :

Ou encore :

Dans le cas général, un nombre entier naturel $K$ s’écrit en décimal comme une séquence de $N$ chiffres $d_{N-1} d_{N-2} \ldots d_{2} d_{1} d_{0}$ tels que :

Système binaire

En électronique numérique, le choix s’est porté sur un système à deux chiffres, le système de numération binaire (également appelé base 2). Un chiffre binaire est appelé un bit, contraction de l’anglais « binary digit ». Il peut prendre les valeurs 0 et 1.

Le bit constitue la plus petite unité d’information possible. Un bit suffit pour représenter l’état d’un système simple fonctionnant en tout-ou-rien : une lampe allumée ou éteinte, un interrupteur ouvert ou fermé, la présence ou l’absence d’un objet devant un capteur, etc. En regroupant plusieurs bits, il est possible de représenter des ensembles de valeurs plus grands. Par exemple :

• Un groupe de deux bits peut prendre quatre valeurs différentes : 00, 01, 10, 11.
• Un groupe de trois bits peut prendre huit valeurs différentes : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

À chaque fois que l’on ajoute un bit, on multiplie par deux le nombre de valeurs possibles. Avec $N$ bits, il est donc possible de représenter $2^N$ valeurs différentes.

Le plus souvent, en informatique, les données sont représentées par des groupes dont la taille est multiple de huit. Un groupe de huit bits est appelé un octet, ou en anglais un byte.

Compter en binaire

Un bit seul représente un nombre égal à zéro ou un. Un nombre supérieur ou égal à deux s’écrira comme une séquence de bits, chacun associé à un poids différent en fonction de sa position : le bit le plus à droite a toujours un poids égal à 1 ; en continuant de droite à gauche, le poids d’un bit est égal à deux fois le poids du bit précédent.

• Le bit le plus à gauche est appelé bit le plus significatif (MSB pour most significant bit), ou encore bit de poids fort.
• Le bit le plus à droite est appelé bit le moins significatif (LSB pour least significant bit), ou encore bit de poids faible.

Par exemple, le nombre $10101101_{bin}$ se décompose de la manière suivante :

La valeur de ce nombre s’obtient en multipliant la valeur de chaque bit par le poids qui lui est associé, et en additionnant les produits :

Ou encore :

Dans le cas général, un nombre entier naturel $K$ s’écrit en binaire comme une séquence de $M$ bits $b_{M-1} b_{M-2} \ldots b_{2} b_{1} b_{0}$ tels que :

Plus de puissances de deux

Les puissances de deux sont identifiables au fait que leur représentation binaire ne comporte qu’un bit à 1. Il est recommandé de connaître par cœur les valeurs ou les ordres de grandeurs de certaines puissances de deux caractéristiques.

$2^{10}$ étant proche de mille, il est fréquemment utilisé comme facteur pour mesurer de grandes quantités de données. Par abus de langage on parle de kilooctet (ou ko, en principe mille octets) alors qu’on mesure en réalité 1024 octets. De même on parle de mégaoctet (ou Mo, en principe un million d’octets) alors qu’on mesure en réalité 1 048 576 octets.

Pour éviter des confusions, les principaux préfixes normalisés sont les suivants :

On ne doit donc pas parler de kilooctet (ko) mais de kibioctet (Kio).

Du décimal au binaire

Une erreur fréquente chez les débutants consiste à croire qu’il existe des nombres décimaux et des nombres binaires. En réalité, un nombre n’est ni décimal, ni binaire. Un nombre représente juste une quantité abstraite qui peut s’écrire en utilisant le système décimal, le système binaire, les chiffres romains ou tout autre système de notre choix. Par exemple, l’octet $10101101_{bin}$ et les chiffres $173_{dec}$ représentent exactement le même nombre.

Pour obtenir la représentation binaire d’un nombre, il existe typiquement deux manières de procéder.

Par soustractions successives de puissances de deux

Supposons que nous souhaitions connaître la représentation binaire du nombre 45 sur 8 bits. Nous nous proposons de compléter le tableau suivant :

Nous allons parcourir ce tableau du bit de poids fort (à gauche) vers le bit de poids faible (à droite).

• 45 est inférieur à 128 et à 64. Nous notons des 0 dans les cases correspondantes.
• 45 est supérieur à 32. Nous notons un 1 dans la case correspondante.

Nous devons à présent représenter la valeur $45 - 32 = 13$ avec les bits restants.

• 13 est inférieur à 16. Nous notons un 0 dans la case correspondante.
• 13 est supérieur à 8. Nous notons un 1 dans la case correspondante.

Nous devons à présent représenter la valeur $13 - 8 = 5$ avec les bits restants. En observant que $5 = 4 + 1$, nous pouvons rapidement compléter le tableau :

Nous pouvons vérifier le résultat en calculant :

Par divisions successives

Cette fois, nous allons parcourir le tableau du bit de poids faible (à droite) vers le bit de poids fort (à gauche).

Nous observons que le nombre 45 est impair. Or, seul le bit de poids faible a un poids impair. Nous pouvons donc inscrire un 1 dans la case correspondante :

Nous devons à présent représenter la valeur $45 - 1 = 44$ avec les bits restants. Si nous divisons cette valeur par deux, et si nous divisons en même temps les poids par deux, cela revient à représenter la valeur $22$ en binaire sur 7 bits :

Nous observons que le nombre 22 est pair. Le bit de poids 1 est donc forcément nul :

Nous devons à présent représenter la valeur $22 - 0 = 22$ avec les bits restants. Si nous divisons cette valeur par deux, et si nous divisons en même temps les poids par deux, cela revient à représenter la valeur $11$ en binaire sur 6 bits :

Nous observons que le nombre 11 est impair. Le bit de poids faible est donc égal à 1 :

Nous devons à présent représenter la valeur $11 - 1 = 10$ avec les bits restants. Si nous divisons cette valeur par deux, et si nous divisons en même temps les poids par deux, cela revient à représenter la valeur $5$ en binaire sur 5 bits :

Nous observons que le nombre 5 est impair. Le bit de poids faible est donc égal à 1 :

Nous devons à présent représenter la valeur $5 - 1 = 4$ avec les bits restants. Nous pouvons immédiatement compléter le tableau en écrivant 1 sous le poids 4, et 0 partout ailleurs.

Cette technique peut sembler plus fastidieuse que la précédente. La technique des soustractions successives est rapide lorsque nous devons déterminer la représentation binaire d’un nombre à la main. La technique des divisions successives repose sur des opérations plus simples (déterminer si un nombre est pair, diviser par deux) et peut être facilement programmée.

Voici un algorithme pour obtenir la représentation binaire b d’un entier K sur N bits :

pour i de 0 à N-1 répéter
    si K est pair alors
        b[i] ← 0
    sinon
        b[i] ← 1
    fin si
    K ← partie entière(K/2)
fin répéter

Représentation des valeurs binaires dans un circuit électronique numérique

Comme en électronique analogique, un circuit numérique est construit avec des composants qui réagissent à des variations de tension, de courant ou d’impédance. Cela signifie qu’un circuit numérique ne manipule pas des nombres abstraits mais que ces nombres doivent être eux-mêmes traduits en grandeurs électriques.

Typiquement, un circuit numérique possède deux broches d’alimentation. Elles sont souvent nommées $V_{DD}$ (pôle positif) et $V_{SS}$ (pôle négatif) pour les circuits composés de transistors à effet de champ.

• Une tension proche de $V_{DD}$ (ou niveau haut) sera considérée comme un bit égal à 1.
• Une tension proche de $V_{SS}$ (ou niveau bas) sera considérée comme un bit égal à 0.

Ainsi, dans un circuit électronique numérique, la représentation des informations est à trois niveaux. Par exemple, dans un thermomètre électronique :

1. Une température est représentée par un nombre.
2. Un nombre est représenté par un groupe de bits.
3. Chaque bit est représenté par un niveau de tension électrique.